Гауссова оптика (решения)


Условия задач


Решения

1. Пусть $a$ — искомое расстояние. Выходя из источника, пучок лучей имеет вид \begin{equation} \begin{pmatrix} 0\\ 1^\circ \end{pmatrix}s \end{equation} где $s$ принимает различные значения для различных лучей. Пройдя расстояние $a$, пучок превратится в \begin{equation} \begin{pmatrix} a^\circ\\ 1^\circ \end{pmatrix}s = \begin{pmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1^\circ \end{pmatrix}s \end{equation} По условиям задачи \begin{equation} \begin{pmatrix} a^\circ\\ 1^\circ \end{pmatrix}s = \begin{pmatrix} 1\,\text{мм}\\ 1^\circ \end{pmatrix}t \end{equation} Следовательно $s=t$, а $a^\circ=1\,\text{мм}$. Вспоминаем, что $180^\circ=\pi$, и тогда $a=57\,\text{мм}$.

2. Чтобы найти матрицу линзы, нужно, как и в случае бокала, перемножить три матрицы. Но, так как линза тонкая, средней матрицей можно пренебречь (она примерно единична). Тогда \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -(\tfrac{1}{R_1}+\tfrac{1}{R_2})(n-1)& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \tfrac{1-n}{R_2}& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \tfrac{n-1}{-R_1}& 1 \end{pmatrix} \end{equation} Значит \begin{equation} \dfrac{1}{f} = \left(\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}\right)(n-1) \end{equation} Формула доказана.

3. Выходя из источника, пучок лучей имеет вид \begin{equation} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}t \end{equation} Ему нужно пройти расстояние $a$, преломиться в линзе и пройти еще расстояние $b$ \begin{equation} \begin{pmatrix} a+b-\tfrac{ab}{f}\\ 1-\tfrac{a}{f} \end{pmatrix}t = \begin{pmatrix} 1 & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -\tfrac{1}{f} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}t \end{equation} Для того, чтобы лучи сошлись на оптической оси, необходимо занулить первую компоненту вектора, то есть потребовать $a+b=\dfrac{ab}{f}$, или что то же самое \begin{equation} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{f} \end{equation} Это не только необходимо, но и достаточно, так как тогда вектор приобретает вид \begin{equation} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}(1-\tfrac{a}{f})t \end{equation} множитель $1-\tfrac{a}{f}$ говорит о том, что лучи сходятся под другим углом по сравнению с тем, как расходятся из источника.

К сожалению, в рамках гауссовой оптики мы не можем говорить о случае, когда источник не находится на оптической оси, а значит и об увеличении с помощью линзы. Для этого надо отказаться от цилиндрической симметрии и перейти у линейной оптике. Однако после этого непростого перехода мы придем формулам аналогичным формулам гауссовой оптики. Но это другая история.

4. Все, что нужно для решения этой задачи, — это возвести найденную нами в видео матрицу в шестую степень. Вот она, если подставить в нее $n=4/3$: \begin{equation} \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{3R}{2}\\ -\tfrac{1}{2R} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix} \end{equation} вот она в третьей степени \begin{equation} \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{3R}{2}\\ -\tfrac{1}{2R} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{3R}{2}\\ -\tfrac{1}{2R} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{3R}{2}\\ -\tfrac{1}{2R} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix} \end{equation} а вот в шестой \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{equation} Единичный вид матрицы говорит, что шесть бокалов ничего не делают со светом. Не в смысле, что их можно просто убрать, так как если их просто убрать, то получилась бы матрица \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 12R\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation} а в смысле, что свет как бы телепортируется, как будто даже никакого пространства, занимаемого бокалами, нет. Заметим, что внутри системы свет даже «выворачивается наизнанку», но на выходе оказывается таким же как на входе (если не считать аберраций, которые накапливаются в такой системе, и оставляют без изменение только самые близкие к оптической оси лучи).

5. Параллельный пучок описывается вектор-столбцами \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t \end{equation} В первом случае имеем произведение \begin{equation} \begin{pmatrix} 1 \\ -\tfrac{n-1}{R} \end{pmatrix}t = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -\tfrac{n-1}{R} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{R}{n}\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t \end{equation} Значит пучок сфокусируется, пройдя расстояние $\tfrac{R}{n-1}$ после выхода из полушара.

Во втором случае порядок множителей иной \begin{equation} \begin{pmatrix} \tfrac{1}{n} \\ -\tfrac{n-1}{R} \end{pmatrix}t = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{R}{n}\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -\tfrac{n-1}{R} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t \end{equation} Значит пучок сфокусируется на расстоянии $\tfrac{nR}{n-1}$ за полушаром.